2016年诺贝尔物理学奖颁发给三位从事拓扑相变和拓扑物质形态研究的学者。拓扑是几何学发展而衍生的一个核心数学领域，研究几何体在连续形变中所不改变的性质。拓扑物质形态用拓扑示性数，比如 “陈数”，来刻画新的物质形态。拓扑相还存在于三维材料中。这些拓扑材料有望在新一代电子器件和超导体中产生应用，以及在未来量子计算机方面有应用。
对称性是数学美的一个基本内容。中国的建筑就很好的应用了数学的对称美，比如故宫在北京中轴线中心上，彰显着皇权的至高无上。走进皇城每件东西也都很讲究对称。横九路、竖九路，共是九九八十一个。对于我们中国人而言，九，是阳数之极，象征帝王最高的地位。甚至连围墙，都被精心计算好了角度。天坛也是这样，有很多对称的元素。
天坛包含了对称性元素
用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形，如正五边形，都不可以密铺平面。但有的五边形可以密铺平面，下图列出了15种早已熟知的五边形密铺。第16种可密铺五边形是2015年由美国数学家发现的。
密铺在建筑中也常见到。西班牙格拉纳达红宫是伊斯兰世界在西班牙留下的辉煌古迹。阿拉伯的工匠们在几何图案的设计中展现出了令人叹为观止的创造力。大家可以看到，红宫的建筑纹饰是各种几何图形的对称、旋转、平移。目前存在只存在17种类型的几何密铺，我们在红宫都可以找到。
西班牙格拉纳达红宫及其部分建筑文饰
数学的深刻性是毋庸置疑的，数学中最漂亮的部分常联系着不同的分支，揭示特定的本质。比如勾股定理告诉我们：a2+b2=c2有很多整数解。 著名的费马大定理就是记录在 Arithmetica 的1621年版的书中：如果n > 2, 则an+bn=cn没有非零整数解。费马声称自己有一个 “绝妙的证法”，当然他没有写下来。 费马猜想的证明有很长的历史，期间经历了几次重大突破，这个问题最终在1994年被怀尔斯证明，他也因此拿到了为他特别制作的菲尔兹银质奖章。怀尔斯的证明用到了大量现代的数学工具和技巧，他的证明揭示了椭圆曲线和数论之间的深刻联系。
英国著名数学家、牛津大学教授Andrew Wiles
费马大定理的证明正是基于椭圆曲线的理论。近年来，利用椭圆曲线的密码系统越来越受到重视。椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由 N. Koblitz 和 V. Miller 分别独立提出的。
实际上，密码学已经广泛应用在我们日常生活中，如银行密码、电子商务等。它使用了大量的数学工具。在电子商务中，经典的RSA算法被广泛使用。RSA算法是由MIT研究人员 Rivest，Shamir 和 Adleman 在1978年公开推广的，其基本原理是因为素数分解的困难。而椭圆曲线密码的安全性远高于用素数分解的RSA算法。 椭圆曲线就是三次代数曲线，即复平面上三次代数多项式的零点集，如y^2=x^3 +1，y^2=5 x^3–7等。研究一般多项式零点集的几何称为代数几何。
数学的统一性可表现为数学概念、规律、方法的统一, 数学理论的统一，数学和其他科学的统一。1904年，著名法国数学家亨利·庞加莱(1854-1912年)提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。” 一个闭的三维流形就是一个有界无边的三维空间;单连通指这个空间中每条闭曲线都可以连续的收缩成一点。
因此庞加莱猜想可以通俗的说成：任何一个满足这样性质的三维空间，它 “本质上” 是一个三维的球。这个猜想可以被推广到三维以上空间，被称为 “高维庞加莱猜想”。
法国邮票上的庞加莱像